Фізика і астрономія. Рівень стандарту. 11 клас. Сиротюк

§ 12. Космічні дослідження об'єктів Сонячної системи. Рух штучних супутників та автоматичних міжпланетних станцій

Найпростіший випадок руху тіл поблизу поверхні Землі під дією сили тяжіння — вільне падіння з початковою швидкістю, що дорівнює нулю. У цьому випадку тіло рухається прямолінійно з прискоренням вільного падіння в напрямку до центра Землі. Якщо тіло має початкову швидкість і її вектор спрямований не по вертикалі, то тіло під дією сили тяжіння почне рухатися з прискоренням вільного падіння по криволінійній траєкторії.

Розглянемо тіло, що перебуває за межами земної атмосфери. Припустимо, що вектор початкової швидкості цього тіла спрямований по дотичній до поверхні Землі. Залежно від значення початкової швидкості подальший рух тіла може бути різним: а) за малих початкових швидкостей (v01, v02, v03) тіло впаде на Землю; б) за деякого значення швидкості v1 (перша космічна швидкість) тіло стане штучним супутником і почне обертатися навколо Землі подібно до природного супутника — Місяця; в) при ще більшому збільшенні швидкості й досягненні наступного певного значення v2 (друга космічна швидкість) тіло відлетить від Землі так далеко, що сила земного притягання практично не буде впливати на його рух. Тіло почне обертатися навколо Сонця подібно до штучної планети; г) якщо швидкість тіла досягне певного значення v3 (третя космічна швидкість), то воно назавжди покине Сонячну систему і відлетить у світовий простір.

Розглянемо випадок, коли тіло стає штучним супутником Землі, тобто визначимо першу космічну швидкість v1. Знайдемо її за другим законом Ньютона з умови, що під дією сили тяжіння тіло набуває доцентрового прискорення:

де Ropб = R + h — середній радіус орбіти тіла (мал. 2.44); R — радіус Землі; h — висота тіла над поверхнею Землі; M — маса Землі; m — маса тіла (супутника).

Мал. 2.44

Для доцентрового прискорення

Підставляючи цей вираз у попередній, після скорочень отримуємо:

Отже, тіло, швидкість якого дорівнює 7,9 · 103 м/с і спрямована по дотичній до поверхні Землі, стає штучним супутником Землі, що рухається по коловій орбіті над Землею. У небесній механіці першу космічну швидкість називають також коловою швидкістю.

Друга космічна швидкість визначається з умови, коли тіло повинне вийти зі сфери земного тяжіння і стати супутником Сонця. Розрахунки дають такий вираз для визначення другої космічної швидкості (не враховуючи опір повітря): v2 = √2gR (R — радіус Землі). Використовуючи вираз v1 = √gR, визначаємо: v2 = v1√2. Підставляючи в це рівняння значення першої космічної швидкості, одержимо, що біля поверхні Землі v2 = 11,2 · 103 м/с. Другу космічну швидкість називають параболічною швидкістю.

Третя космічна швидкість, або гіперболічна швидкість, — це найменша початкова швидкість, з якою тіло має перебороти земне притягання і вийти на навколосонячну орбіту зі швидкістю, потрібною для того, щоб назавжди покинути межі Сонячної системи.

Розрахунки дають таке рівняння для знаходження значення цієї швидкості:

де v ≈ 29,8 · 103 м/с — швидкість Землі на коловій орбіті під час руху навколо Сонця.

Підставивши значення другої космічної швидкості v2 в останнє рівняння і провівши розрахунки, одержимо, що тіло повинне мати мінімальну швидкість v3 = 16,7 · 103 м/с, щоб покинути межі Сонячної системи.

Розрахунки траєкторій польотів космічних апаратів пов’язані з використанням законів небесної механіки. Зауважимо, що рух космічних апаратів описується законами небесної механіки тільки після вимикання реактивних двигунів. На пасивній ділянці траєкторії (тобто після вимикання двигунів) космічні апарати рухаються під дією притягання Землі й інших тіл Сонячної системи.

Елементи орбіти штучних супутників Землі взаємопов’язані формулою:

де v0 — початкова швидкість супутника; M — маса Землі; r0 — відстань від точки виходу супутника на орбіту до центра Землі; a — більша піввісь орбіти супутника.

Ексцентриситет орбіти e під час горизонтального запуску супутника дорівнює:

де q — відстань перигею (найближчої точки орбіти від центра Землі). У випадку еліптичної орбіти (мал. 2.45):

q = α(1 - е) = R + hп,

де hп — лінійна висота перигею над поверхнею Землі. Відстань апогею (найбільш віддаленої точки орбіти від центра Землі):

Q = а (1 - е) = R + hа,

де ha — висота апогею над земною поверхнею; R — радіус Землі.

Мал. 2.45

На малюнку 2.46 показано орбіти космічних апаратів без урахування збурень, тобто коли апарати залишаються поблизу Землі: 1 — колова, 2 — еліптична, 3 — параболічна, 4 — гіперболічна.

Мал. 2.46

Але коли космічний апарат відійде від Землі на значну відстань, то на подальший його рух впливатиме перш за все притягання Сонця. Радіус сфери дії Землі приймають рівним 930 тис. км. На межі цієї сфери вплив Сонця й Землі на космічний апарат однаковий. Момент досягнення межі сфери дії Землі вважається моментом виходу космічного апарата на орбіту Сонця.

Запускаючи космічні апарати до інших планет, слід враховувати такі моменти. 1. Геоцентрична швидкість космічного апарата при виході на орбіту відносно Землі має перевищувати другу космічну швидкість. 2. Геліоцентрична орбіта космічного апарата має перетинатися з орбітою цієї планети. 3. Момент запуску потрібно вибрати так, щоб орбіта була найоптимальнішою з погляду часу польоту, витрат палива і ряду інших вимог.

Одним із класів міжпланетних траєкторій є енергетично оптимальні орбіти, які відповідають найменшій геоцентричній швидкості космічних апаратів у момент досягнення межі сфери дії Землі. На малюнку 2.47 показано таку траєкторію перельоту на Марс, побудовану на припущенні, що орбіти Землі й Марса колові. Цю орбіту назвали гоманівською, на честь німецького астронома Вальтера Гомана (1880-1945), який займався теорією міжпланетних польотів.

Мал. 2.47

У момент запуску космічного апарата Земля перебуває в точці 1. Геліоцентрична швидкість v2 космічного апарата має бути спрямована так само, як і геліоцентрична швидкість Землі, — по дотичній до орбіти Землі. Момент запуску слід підібрати так, щоб космічний апарат і Марс, рухаючись по своїх орбітах, досягли одночасно точки 2. Літерою S позначено Сонце. Розрахунки показують, що час польоту із Землі до Марса по зазначеній траєкторії складає 259 діб (не враховуючи порівняно короткого часу польоту до межі сфери дії Землі).

ЗАПИТАННЯ ДО ВИВЧЕНОГО

  • 1. Що таке перша, друга і третя космічні швидкості?
  • 2. По яких орбітах можуть рухатися космічні апарати? Яким геометричним лініям відповідають орбіти космічних апаратів для першої, другої і третьої космічної швидкості?
  • 3. Чому космічні ракети не можуть пересуватися всередині Сонячної системи найкоротшими шляхами (прямолінійно)?
  • 4. Чому вигідніше космічні ракети запускати із заходу на схід?
  • 5. Які орбіти космічних апаратів називають гоманівськими?