Фізика і астрономія. Рівень стандарту. 11 клас. Сиротюк

§ 4. Закони Кеплера та їхній зв'язок із законами Ньютона

До кінця XVI ст. ученим не вдавалося точно розрахувати відносне положення планет на кілька років уперед за допомогою існуючих у той час теорій. Тоді вчені припускали, що планети рівномірно рухаються по строго колових орбітах навколо Сонця. Кінематичні закони руху планет відкрив лише на початку XVII ст. австрійський астроном і математик Йоганн Кеплер (1571-1630).

Він уперше встановив, що планети обертаються по еліпсах, в одному з фокусів яких є Сонце. Ця закономірність одержала назву першого закону Кеплера.

Відрізок AB (мал. 1.17) називають великою віссю, а відрізок CD — малою віссю еліпса. Відрізки AO = OB = a, CO = OD = b називають відповідно великою і малою півосями еліпса. Відношення

називають ексцентриситетом еліпса. Що більший ексцентриситет еліпса, то більше зміщені фокуси відносно центра і більшою буде різниця між великою та малою півосями. Тобто ексцентриситет слугує мірою «сплюснутості» еліпса.

Для еліпса 0 < e < 1. Якщо e = 0, можна розглядати коло як окремий вид еліпса (b = a). Припустимо, якщо Сонце перебуває у фокусі F1, то найближчу до Сонця точку A орбіти планети називають перигелієм, а найвіддаленішу B — афелієм. Позначимо AF1 = q (q — перигелійна відстань), а BF1 = Q (Q — афелійна відстань).

З малюнка 1.17 випливає, що q + OF1= a, OF1 = ae, то q = a - ae = a(1 - e).

Мал. 1.17

У земної орбіти ексцентриситет дорівнює 0,017. Земля перебуває у перигелії на початку січня, і перигелійна відстань дорівнює 147 млн км, а в афелії — на початку липня, й афелійна відстань дорівнює 152 млн км.

Вивчаючи рух Марса в просторі, Кеплер помітив, що планета рухається по орбіті нерівномірно — узимку швидше, ніж улітку. Він став шукати закономірність, за якою відбувається зміна швидкості Марса, і висунув гіпотезу, що швидкість має бути обернено пропорційна відстані від Марса до Сонця. Для перигелію й афелію припущення підтвердилося. Тоді Кеплер умовно розбив орбіту Марса на 360 частин і став перевіряти свою гіпотезу для різних її ділянок. Спостереження та розрахунки показали, що за однакові інтервали часу Марс проходить рівні площі секторів орбіти.

Сучасне формулювання цієї залежності поширене на всі планети, і називають його другим законом Кеплера. Полягає він в такому: радіус-вектор планети (лінія, що сполучає центр Сонця із центром планети) за однакові інтервали часу описує рівні площі.

Другий закон Кеплера, або закон площ, проілюстровано на малюнку 1.18. Під час руху планети (P) навколо Сонця (S) її радіус-вектор за рівні інтервали часу описує однакові за площею фігури — P1SP2 і P3SP4. Отже, швидкість руху планети по орбіті змінюється, приймаючи максимальне значення в перигелії та мінімальне в афелії. Найбільшу швидкість Земля має взимку: vmax = 30,38 км/с. Найменшу — влітку: vmin = 29,36 км/с. У липні Земля рухається повільніше, тому тривалість літа в Північній півкулі більша, ніж у Південній. Цим пояснюється, що середньорічна температура в Північній півкулі Землі вища, ніж у Південній. Коли б Земля оберталася навколо Сонця зі сталою швидкістю, то кількість днів у цих півріччях була б однакова.

Мал. 1.18

Порівнюючи розміри орбіт і періоди обертання планет навколо Сонця, Кеплер виявив, що квадрати періодів обертання планет пропорційні кубам їхніх середніх відстаней від Сонця (або відношення r3 : T2 однакове для всіх планет).

Третій закон Кеплера формулюється так: квадрати сидеричних періодів обертання двох планет відносяться як куби великих півосей їхніх орбіт:

Відкриття Коперника і його послідовників показали, що Земля — це планета, що рухається навколо Сонця, як і інші планети. Тому з’явилося припущення, що сила тяжіння властива не тільки Землі, але й іншим небесним тілам. На матеріальні тіла, що перебувають біля інших планет, Місяця або Сонця, діє сила тяжіння, що спрямована до їхнього центра так само, як і на Землі. Отже, завдяки поширенню властивостей тяжіння на інші небесні тіла було поставлено питання про взаємодію тіл.

На основі дослідних даних Ньютон сформулював три основних закони руху тіл (закон інерції, закон динаміки матеріальної точки, закон дії і протидії). На основі третього закону Кеплера та закону динаміки Ньютон вивів закон всесвітнього тяжіння:

два тіла притягаються одне до одного із силою, пропорційною добутку мас цих тіл і обернено пропорційною квадрату відстані між ними:

де m1 і m2 — маси двох тіл, що притягаються одне до одного; r — відстань між ними; G = 6,673 · 10-11 Н · м2/кг2 — гравітаційна стала.

На основі закону всесвітнього тяжіння та законів механіки Ньютон математично довів, що під дією сили тяжіння (гравітаційної сили) тіло масою m буде рухатися щодо тіла масою M по одній з кривих: еліпсу, колу, параболі або гіперболі.

Таким чином, Ньютон уточнив й узагальнив перший закон Кеплера: під дією тяжіння одне небесне тіло рухається в полі тяжіння іншого небесного тіла по одному з конічних перерізів — еліпсу, колу, параболі або гіперболі.

ЗАПИТАННЯ ДО ВИВЧЕНОГО

  • 1. Сформулюйте закони Кеплера.
  • 2. По яких орбітах можуть рухатися небесні тіла під дією сили тяжіння?
  • 3. Як змінюється значення швидкості при русі планети по орбіті від перигелію до афелію?
  • 4. Як залежить період обертання супутників від мас планет?

Дослідіть, яку роль відіграли закони Кеплера у становленні космонавтики.