Фізика і астрономія. Рівень стандарту. 11 клас. Сиротюк

§ 24. Гармонічні електромагнітні коливання. Частота власних коливань контуру

Розглянемо механізм виникнення коливань у коливальному контурі. Щоб отримати вільні коливання в механічній коливальній системі, потрібно надати цій системі енергію від зовнішнього джерела. У процесі коливань ця енергія періодично перетворюється з потенціальної в кінетичну, і навпаки. Щоб коливальний контур вивести зі стану електричної рівноваги, цій коливальній системі потрібно також надати певну енергію. Розглянемо послідовні стадії коливального процесу в ідеалізованому контурі, опір якого дуже малий R ≈ 0. Для виникнення в контурі коливань конденсатор попередньо заряджають, надаючи його обкладкам заряди ±q. Тоді в початковий момент часу t = 0 (мал. 2.21, а) між обкладками конденсатора виникає електричне поле, енергія якого:

Мал. 2.21

Якщо конденсатор замкнути на котушку індуктивності, то він почне розряджатися і в контурі виникне зростаючий із часом струм І. Отже, енергія електричного поля конденсатора буде зменшуватися, а енергія магнітного поля котушки — збільшуватися.

Вважаючи, що R ≈ 0, то відповідно до закону збереження енергії повна енергія контуру буде мати вигляд:

тому що енергія на нагрівання провідників у такому коливальному контурі не витрачається. У момент часу

коли конденсатор повністю розрядиться, енергія електричного поля зменшиться до нуля, а енергія магнітного поля, а отже, і сила струму, досягне найбільшого значення (мал. 2.21, б). Починаючи із цього моменту часу сила струму в контурі буде зменшуватися, отже, почне слабшати магнітне поле котушки й індукований у ній струм, який проходить у тому самому напрямку, що й струм розрядки конденсатора. Конденсатор почне перезаряджатися, при цьому виникне електричне поле, яке намагатиметься послабити силу струму, який зрештою зменшиться до нуля, а заряд на обкладках конденсатора досягне максимуму (мал. 2.21, в). Далі ті самі процеси почнуть відбуватися у зворотному напрямку (мал. 2.21, г), і система до моменту часу t = Т повернеться в початковий стан (мал. 2.21, а). Після цього розглянутий цикл розрядки і зарядки конденсатора почне повторюватися.

Якби втрат енергії не було, то в контурі відбувалися б періодичні незатухаючі коливання, тобто періодично змінювалися (коливалися) б заряд q на обкладках конденсатора, напруга U на конденсаторі і сила струму І, який проходить через котушку індуктивності.

Отже, у контурі виникають електричні коливання з періодом Т, причому протягом першої половини періоду струм проходить в одному напрямку, протягом другої половини — у протилежному. Коливання супроводжуються перетвореннями енергій електричних і магнітних полів.

Електричні коливання в коливальному контурі можна порівняти з механічними коливаннями пружинного маятника (мал. 2.21), які супроводжуються перетвореннями потенціальної і кінетичної енергії маятника.

Роль інерції маятника буде зводитися до самоіндукції котушки, а роль сили тертя, яка діє на маятник, — до опору контуру.

Перейдемо тепер до кількісної теорії процесів у коливальному контурі. Визначимо період (або частоту) вільних електричних коливань. Виходячи з аналогії між вільними механічними і електричними коливаннями, можна відразу записати вираз для частоти і періоду вільних електричних коливань.

Для періоду вільних коливань у контурі можна записати:

Цю формулу називають формулою Томсона на честь англійського фізика, який її вперше вивів.

Отримані результати правильні. Проте вважати їх строго доведеними не можна. Треба показати, що рівняння, яке описує електричні коливання в контурі, з математичного боку не відрізняється від рівняння, яке описує вільні механічні коливання. Лише після цього можна стверджувати, що механічні й електричні коливання підпорядковані тим самим кількісним законам.

Як відомо, координата в механічних коливаннях, коли в початковий момент (t = 0) відхилення від положення рівноваги максимальне, змінюється із часом за гармонічним законом: х = хmах cos ω0t.

За таким самим законом змінюється із часом заряд конденсатора:

q = qx cos ω0t,

де qmаx — амплітуда коливань заряду. Гармонічно коливається і сила струму:

де Imах = qmaxω0— амплітуда коливань сили струму. Коливання сили струму зміщені за фазою на п/2 щодо коливань заряду (мал. 2.22) і, подібно до коливань швидкості руху тягарця на пружині, випереджають за фазою на π/2 коливання координати.

Мал. 2.22

Дійсно, унаслідок енергетичних втрат коливання будуть затухаючими. Що більший опір R, то більшим буде період коливань. Коливання напруги будуть описуватися за таким законом: u = Umax cos ω0t.

ЗАПИТАННЯ ДО ВИВЧЕНОГО

  • 1. Проведіть аналогію між електромагнітними і механічними коливаннями.
  • 2. Запишіть рівняння гармонічного коливання заряду, сили струму і напруги в коливальному контурі.
  • 3. За якою формулою визначають власну частоту вільних електромагнітних коливань?