Підручник з Астрономії (рівень стандарту). 11 клас. Пришляк - Нова програма

5. Закони Кеплера. Визначення маси і розмірів небесних тіл

Закони Кеплера. Йоганн Кеплер визначив, що Марс рухається навколо Сонця по еліпсу, а потім було доведено, що й інші планети теж мають еліптичні орбіти.

Перший закон Кеплера. Всі планети обертаються навколо Сонця по еліпсах, а Сонце розташоване в одному з фокусів цих еліпсів (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Планети обертаються навколо Сонця по еліпсах.

AF1 = rmin — у перигелії;

BF1 = rmax — в афелії

Головний наслідок першого закону Кеплера: відстань між планетою та Сонцем не залишається сталою і змінюється в межах:

Точка A орбіти, де планета наближається на найменшу відстань до Сонця, називається перигелієм (від грец. peri — поблизу, gelios — Сонце), а найвіддаленішу від центра Сонця точку B орбіти планети назвали афелієм (від грец. apo — далі) (рис. 5.3). Сума відстаней у перигелії та афелії дорівнює великій осі AB еліпса:

Ступінь витягнутості еліпса характеризується ексцентриситетом e — відношенням відстані між фокусами 2c до довжини великої осі 2a, тобто

Орбіта Землі має маленький ексцентриситет e = 0,017 і майже не відрізняється від кола, тому відстань між Землею і Сонцем змінюється в невеликих межах від rmin = 0,983 а. о. в перигелії до rmax = 1,017 а. о. в афелії.

Земля в перигелії 3-4 січня наближається до Сонця на найменшу відстань — 147 млн км

Земля в афелії 3-4 липня віддаляється від Сонця на найбільшу відстань — 153 млн км

Найбільшу швидкість Земля має взимку: Vmax = 30,38 км/с

Найменшу швидкість Земля має влітку: Vmin = 29,36 км/с

Орбіта Марса має більший ексцентриситет, а саме 0,093, тому відстань між Землею і Марсом під час протистояння може бути різною — від 100 млн км до 56 млн км. Значний ексцентриситет (e = 0,8...0,99) мають орбіти багатьох астероїдів і комет, а деякі з них перетинають орбіту Землі та інших планет, тому інколи відбуваються космічні катастрофи під час зіткнення цих тіл.

Супутники планет теж рухаються по еліптичних орбітах, причому у фокусі кожної орбіти розміщений центр відповідної планети.

Рис. 5.3. Афелій і перигелій Землі

Другий закон Кеплера. Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі.

Головний наслідок другого закону Кеплера полягає в тому, що під час руху планети по орбіті з часом змінюється не тільки відстань планети від Сонця, а й лінійна та кутова її швидкості.

Найбільшу швидкість планета має в перигелії, коли відстань до Сонця є найменшою, а найменшу швидкість — в афелії, коли відстань є найбільшою.

Другий закон Кеплера фактично визначає відомий фізичний закон збереження енергії: сума кінетичної та потенціальної енергії в замкненій системі є величиною сталою. Кінетична енергія визначається швидкістю планети, а потенціальна — відстанню між планетою та Сонцем, тому при наближенні до Сонця швидкість планети зростає (рис. 5.6).

Рис. 5.6. При наближенні до Сонця швидкість планети зростає, а при віддаленні — зменшується. Якщо відрізки часу t2 - t1 = t4 - t3 = t6 - t5, то площі SA = SB = SC

Якби Земля оберталася навколо Сонця з постійною швидкістю, то кількість днів у цих півріччях була б однаковою. Але, згідно з другим законом Кеплера, взимку швидкість Землі більша, а влітку — менша, тому літо в Північній півкулі триває трохи більше, ніж зима, а у Південній півкулі, навпаки, зима трохи довша за літо.

Третій закон Кеплера. Квадрати сидеричних періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їхніх орбіт.

де T1 та T2 — сидеричні періоди обертання будь-яких планет;

a1 та a2 — великі півосі орбіт цих планет.

Якщо визначити велику піввісь орбіти якоїсь планети чи астероїда, то, згідно з третім законом Кеплера, можна обчислити період обертання цього тіла, не чекаючи, поки воно зробить повний оберт навколо Сонця.

Третій закон Кеплера використовується також і в космонавтиці, якщо треба визначити період обертання навколо Землі супутників, космічних кораблів або обчислити час польоту міжпланетних станцій на інші планети Сонячної системи.

Закон всесвітнього тяжіння. Великий англійський фізик і математик Ісаак Ньютон довів, що фізичною основою законів Кеплера є фундаментальний закон всесвітнього тяжіння, який не тільки зумовлює рух планет у Сонячній системі, а й визначає взаємодію зір у Галактиці. У 1687 р. І. Ньютон сформулював цей закон так: будь-які два тіла з масами М і m притягуються із силою, величина якої пропорційна добутку їхніх мас та обернено пропорційна квадрату відстані між ними (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Закон всесвітнього тяжіння

де G — гравітаційна стала; R — відстань між цими тілами.

Слід звернути увагу, що формула (5.9) справедлива тільки для двох матеріальних точок. Якщо тіло має сферичну форму і густина всередині розподілена симетрично відносно центра, то масу такого тіла можна вважати за матеріальну точку, яка розміщується в центрі сфери. Наприклад, якщо космічний корабель обертається навколо Землі, то для визначення сили, з якою корабель притягується до Землі, беруть відстань R + H до центра Землі, а не до поверхні (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Сила тяжіння, яка діє на космічний корабель, залежить від відстані R + H між кораблем і центром Землі

Для допитливих

Видатний німецький священик й астроном Йоганн Кеплер, який відкрив ключові закони руху планет, чесно пройшов шлях осяяння.

Протягом усього життя Кеплер вірив, що Сонячна система — витвір мистецтва, сповнений містичних явищ. Він не вважав себе астрономом за покликанням, а навпаки захоплювався теологією і мріяв стати священиком. Свій інтерес до теорії Коперника спочатку пояснював необхідністю дослідити різні думки щодо світобудови перед тим, як дійти власних висновків.

Зрештою природна допитливість й захоплення астрономією спонукали Кеплера до революційних відкриттів — славнозвісних законів.

В епітафії з приводу смерті видатного вченого було написано: «Я використовував для вимірювань небеса. Тепер я маю виміряти тіні Землі. Попри те, що душа моя на небі, тінь мого тіла лежить тут».

Кубок Кеплера

Контрольні запитання

  • 1. Сформулюйте перший закон Кеплера. Що розташоване у фокусі орбіт планет? А супутників?
  • 2. Дайте визначення перигелію та афелію. Якої швидкості набуває планета, проходячи ці точки орбіти?
  • 3. У чому полягає наслідок другого закону Кеплера? У якій півкулі Землі тепла пора року триваліша за холодну?
  • 4. Чому третій закон Кеплера є одним із найважливіших для розвитку космонавтики?
  • 5. У скільки разів афелійна відстань більша перигелійної відстані, якщо ексцентрисетет орбіти дорівнює 0,5?
  • 6. Чи змінюється швидкість планети, що рухається по еліптичниій орбіті? коловій орбіті?

Тема для дискусії

Як зміниться клімат Землі, якщо ексцентриситет земної орбіти буде дорівнювати 0,5, а велика піввісь залишиться такою, як зараз? Вважати, що кут нахилу осі обертання до площини екліптики залишиться 66,5°.

Завдання для спостереження

Визначте за допомогою астрономічного календаря, яка планета Сонячної системи розташовується найближче до Землі 10 березня поточного року. У якому сузір'ї її можна побачити сьогодні вночі?