Фізика і астрономія. Рівень стандарту. 11 клас. Головко

§ 5. Електроємність. Конденсатори

Опрацювавши цей параграф, ви зможете обчислювати ємність конденсаторів та їх з'єднань, енергію електростатичного поля.

ЕЛЕКТРОЄМНІСТЬ. Для характеристики здатності провідників накопичувати електричний заряд введено фізичну величину, яка називається електроємністю.

Електроємністю (або просто ємністю) називається фізична величина, яка чисельно дорівнює відношенню величини заряду провідника q до його потенціалу φ:

Електроємність відокремленого провідника чисельно дорівнює електричному заряду, який змінює потенціал провідника на одиницю.

Чим більша ємність провідника, тим менше змінюється його потенціал при наданні йому заряду.

Ємність відокремленого провідника залежить від форм і розмірів поверхні (оскільки заряди розміщуються лише по його поверхні), а також від діелектричної проникності середовища, в якому перебуває провідник.

Оскільки потенціал невідокремленого провідника залежить від наявності й розташування заземлених тіл, що оточують його, ємність такого провідника також залежить від цих самих чинників. Однак за умови такого розташування тіл, що оточують його, ємність певного провідника не змінюється, оскільки чим більший заряд йому наданий, тим більшим буде його потенціал.

Ємність не залежить від матеріалу, агрегатного стану провідника, наявності в ньому порожнин або інших включень, а також від величини заряду на ньому.

Провідник характеризується електричною ємністю й у випадку, коли він зовсім не заряджений.

Одиницею електроємності в СІ є фарад (названа на честь англійського фізика М. Фарадея):

1 фарад — велика одиниця. Таку ємність мала б куля радіусом 9 · 1011 см (у 1400 разів більшим за радіус Землі). На практиці використовують кратні одиниці: мікрофарад (мкФ) — 10-6 Ф і пікофарад (пФ) — 10-12 Ф.

Ємність Земної кулі близько 709 мкФ. Вона в мільйони разів більша за електроємність приладів і провідників. З'єднуючи будь-який провідник із зарядом q з Землею, ми одержуємо провідник величезної ємності, потенціал якого практично не змінюється від додавання йому заряду q. З цієї причини вирішили прийняти потенціал Землі за нульовий і порівнювати з ним потенціали заряджених провідників.

КОНДЕНСАТОРИ. ЄМНІСТЬ КОНДЕНСАТОРА. Явище накопичення достатньо великих зарядів на провідниках за незначних напруг між ними використовують у пристроях, які називаються конденсаторами.

Конденсатор — система двох ізольованих один від одного провідників, яким надано однакові заряди протилежного знаку, поле яких зосереджено лише між цими провідниками.

Ці ізольовані діелектриком провідники називаються обкладками конденсаторів. Найпростіший плоский конденсатор складається з двох паралельних металевих пластин (обкладок), розміщених на малій відстані одна від одної і розділених діелектриком (рис. 5.1, а). Якщо заряди пластин однакові за величиною і протилежні за знаком, то майже всі силові лінії електричного поля зосереджені всередині конденсатора. У сферичного конденсатора, що складається з двох концентричних сфер, та у циліндричного, утвореного з двох коаксіальних металевих циліндрів, усе поле зосереджене всередині конденсатора.

Щоб зарядити конденсатор, треба його обкладки приєднати до джерела напруги, наприклад, акумуляторної батареї. Можна також з'єднати одну обкладку з джерелом напруги, а другу заземлити. Тоді на заземленій обкладці залишиться заряд, що дорівнює заряду першої обкладки, але є протилежним йому за знаком. Такий самий за модулем заряд піде в землю. Різнойменні заряди обох пластин, притягуючись один до одного, накопичуються лише на їх внутрішній стороні. Між пластинами виникає однорідне електричне поле, а поза конденсатором електричні поля зарядів обох пластин компенсують одне одного (рис. 5.1. б).

Рис. 5.1. Плоский повітряний конденсатор (а) та модель конденсатора (б)

Фізичну величину, що дорівнює відношенню накопиченого в конденсаторі заряду q до різниці потенціалів між його обкладками (φ1 - φ2) називають ємністю конденсатора:

де U — напруга між обкладками конденсатора, яка дорівнює різниці потенціалів між ними.

Чим більша ємність конденсатора, тим більший заряд можна надати його обкладкам за певної напруги між ними. Тобто, ємність конденсатора показує, який заряд можна йому надати, за певної напруги. Ємність конденсатора не залежить від навколишніх тіл.

Обчислимо ємність плоского конденсатора. Позначимо площу кожної його частини S, а відстань між пластинами d. Конденсатор заповнений діелектриком з діелектричною проникністю ε. Щоб обчислити ємність за формулою, треба виразити різницю потенціалів через заряд q. Ця різниця потенціалів визначається напруженістю поля Е, яка залежить від зарядів обкладок конденсатора. Напруженість поля між двома обкладками плоского конденсатора дорівнює сумі напруженостей полів, створених кожною з пластин:

Напруженості поля позитивно і негативно заряджених пластин однакові за модулем та напрямлені всередині конденсатора в один і той самий бік. Саме тому модуль результуючої напруженості дорівнює:

де σ — поверхнева густина зарядівНапруженість поля в діелектрику зменшується в ε разів. Отже, напруженість поля між обкладками конденсатора обчислюється за формулою:

В однорідному електричному полі зв'язок між напругою (різницею потенціалів) і напруженістю визначається за формулою:

Підставивши цей вираз у формулу ємності, одержуємо формулу ємності плоского конденсатора:

Електроємність плоского конденсатора прямо пропорційна площі його пластин і діелектричній проникності та обернено пропорційна відстані між пластинами. Вона також залежить від електричних властивостей середовища. Електроємність конденсатора не залежить від матеріалу провідників.

ЗАСТОСУВАННЯ КОНДЕНСАТОРІВ. Залежно від форми обкладок конденсатори поділяються на плоскі, циліндричні та сферичні (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Різні види конденсаторів

Властивість конденсаторів накопичувати великі заряди завдяки великій ємності використовують в електротехнічних та радіотехнічних пристроях.

Конденсатор може накопичувати енергію відносно тривалий час, а віддає її майже миттєво. Цю властивість широко застосовують на практиці.

Конденсатори використовуються в лампах-спалах для фотозйомки, у газорозрядних трубках збуджувачів лазерів, а також для згладжування пульсацій у випрямлячах змінного струму, в електромагнітних коливальних контурах, для налаштування радіоприймачів.

Детальніше...

З'ЄДНАННЯ КОНДЕНСАТОРІВ. Щоб одержати необхідну електроємність для заданої робочої напруги, конденсатори з'єднують у батареї.

Найпоширеніші такі з'єднання: послідовне, паралельне, змішане. Розглянемо їхні особливості.

Нехай послідовно з'єднано N конденсаторів (рис. 5.3). На обкладках кожного з них буде однаковий за модулем заряд:

q1 = q2 = q3 = ... = qN = Q,

де Q — заряд обкладок усієї батареї. Напруга на клемах такої батареї дорівнюватиме сумі напруг на всіх послідовно з'єднаних конденсаторах, тобто:

U = U1 + U2 + U3 + ... + UN.

Рис. 5.3. Послідовне з'єднання конденсаторів

Отже, допустима робоча напруга батареї послідовно з'єднаних конденсаторів більша за допустиму робочу напругу окремого конденсатора.

Відповідно, формула для розрахунку електроємності батареї послідовно з'єднаних конденсаторів має вигляд:

При послідовному з'єднанні конденсаторів додаються обернені значення їх ємностей. Ємність батареї з n однакових, послідовно з'єднаних конденсаторів у n разів менша ємності одного конденсатора.

Щоб одержати велику електроємність, конденсатори з'єднують паралельно (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Паралельне з'єднання конденсаторів

Паралельним називається з'єднання конденсаторів, за якого всі позитивно заряджені обкладки приєднані до одної вузлової точки, а негативно заряджені — до іншої. У цьому разі напруга на всіх конденсаторах однакова:

U = U1 = U2 = U3 = ... = UN.

Заряд на батареї дорівнює сумі зарядів на окремих конденсаторах:

q = q1 + q1 + q1 + ... + qN.

Відповідно: CU = C1U + C2U + C3U + ... + CNU.

Скоротивши ліву і праву частини виразу на U, отримуємо формулу для обчислення електроємності батареї паралельно з'єднаних конденсаторів:

C = C1 + C2 + C3 + ... + CN.

Електроємність батареї паралельного з'єднання конденсаторів більша, ніж найбільша з електроємностей окремого конденсатора.

На практиці рідко застосовують лише один вид з'єднання конденсаторів. Зазвичай використовують різні сполучення послідовного і паралельного з'єднань, які називають змішаними (рис. 5.5). Їх ємність розраховують за правилами послідовного та паралельного з'єднань конденсаторів. Наприклад, змішане з'єднання конденсаторів, зображене на рис. 5.5, можна розглядати як дві послідовно з'єднані батареї, що, своєю чергою, складаються із паралельно з'єднаних конденсаторів.

Рис. 5.5. Змішане з'єднання конденсаторів

ЕНЕРГІЯ ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОГО ПОЛЯ. У тому, що заряджений конденсатор має енергію, можна переконатися, якщо розрядити його за допомогою спеціального розрядника з ізольованою ручкою. При цьому між кульками розрядника та конденсатора проскакує іскра, тим більша, чим більші ємність та напруга конденсатора. Електричне поле має енергію, яка може перетворюється у світлову, теплову, механічну форми енергії.

Енергія електричного поля зарядженого конденсатора дорівнює тій роботі, яку треба виконати для його зарядки, тобто для розділення позитивних і негативних зарядів. Напруженість поля, що створюється зарядом кожної із пластин, дорівнює Е/2, де Е — напруженість поля в конденсаторі.

В однорідному полі однієї пластини є заряд q, розподілений по поверхні другої пластини. Згідно з формулою потенціальної енергії заряду, енергія конденсатора дорівнює:

де q — заряд конденсатора; Е — напруженість електричного поля; d — відстань між пластинами.

Оскільки Ed = U — різниця потенціалів між обкладками конденсатора, то його енергія дорівнює:

Формулу можна перетворити, щоб у вираз для потенціальної енергії входили або заряд, або напруга. Для цього скористаємося формулою електроємності конденсатора:

Підставляючи необхідну величину у вихідну формулу, одержуємо:

Обчислюючи енергію конденсатора, можна користуватися будь-якою з цих формул, залежно від відомих величин.

Енергію електричного поля можна виразити через основну характеристику поля — напруженість. Підставимо у формулу значення електроємності плоского конденсатора і виразимо різницю потенціалів через напруженість поля: U = Ed.

Одержуємо ще одну формулу:

В останню формулу входять лише характеристики поля. Зокрема, добуток Sd є об'ємом, що його займає поле. Отже, енергія однорідного поля пропорційна об'єму поля. Поділивши вираз на Sd, визначимо енергію, яка припадає на одиницю об'єму, тобто густину енергії:

Ця формула справедлива не тільки для однорідного поля плоского конденсатора, а й для будь-якого іншого електростатичного поля і навіть для змінних електричних полів.

! Головне в цьому параграфі

Здатність провідників накопичувати електричний заряд характеризується електроємністю. Ємність конденсатора показує, який заряд можна йому надати за певної напруги. Максимальна робоча напруга батареї послідовно з'єднаних конденсаторів більша за робочу напругу окремого конденсатора. Електроємність батареї паралельного з'єднання конденсаторів більша, ніж найбільша з електроємностей окремого конденсатора.

? Знаю, розумію, вмію пояснити

1. Що називають електроємністю відокремленого провідника? Яка формула виражає суть цього поняття? 2. Від чого залежить електроємність провідника? Чи впливає середовище на неї? 3. У яких одиницях вимірюється електроємність у СІ? 4. Чи можна змінити потенціал провідника, не торкаючись його і не змінюючи його заряд? 5. Що називають конденсатором? 6. Що показує ємність конденсатора? 7. Опишіть будову плоского конденсатора і напишіть формулу для визначення його електроємності. 8. Плоский повітряний конденсатор заряджають від джерела струму до напруги U, а потім від'єднують. Після цього обкладки розсувають. Чи буде змінюватися наруга між ними? 9. Як змінюється енергія зарядженого конденсатора при зменшенні відстані між його пластинами, якщо конденсатор: а) відключений від джерела напруги; б) підключений до джерела напруги?

Вправа до § 5

  • 1(с). Обчисліть електроємність провідника, заряд якого 8 · 10-3 Кл, а потенціал 103 В.
  • 2(с). Обчисліть заряд, який необхідно надати провіднику ємністю 150 пФ, щоб зарядити його до потенціалу 30 В.
  • 3(д). Дві металеві кульки, які мають ємності 10 пФ і 15 пФ та заряди 0,5 нКл і 1,5 нКл відповідно, з'єднали провідником. Чи будуть переміщатися заряди з однієї кульки на іншу?
  • 4(д). Обчисліть заряд кожної з обкладок конденсатора, електроємність якого С = 5 пФ, а різниця потенціалів між ними U = 1000 В.
  • 5(д). Плоский повітряний конденсатор заряджений і відключений від джерела струму. Як зміниться напруга між пластинами конденсатора, якщо відстань між ними збільшиться у 2 рази?
  • 6(д). Визначте загальну електроємність чотирьох конденсаторів, що мають електроємності 2 пФ, 5 пФ, 10 пФ, 20 пФ, якщо вони: а) з'єднані послідовно; б) з'єднані паралельно.
  • 7(д). Обчисліть енергію конденсатора, електроємність якого становить 200 пФ, а різниця потенціалів на його обкладках 1000 В.
  • 8(в). Чому дорівнює електроємність плоского конденсатора, обкладки якого — це дві смужки фольги площею S = 0,4 м2 кожна, розділені парафінованим папером (ε = 2,2) завтовшки d = 0,08 мм?
  • 9(в). Заряд плоского конденсатора із слюдяним діелектриком дорівнює 2,7 · 10-4 Кл. Площа кожної пластини 2500 см2. Діелектрична проникність слюди ε = 7. Знайдіть напруженість поля в діелектрику.