Підручник з Астрономії. 11 клас. Сиротюк - Нова програма

§ 8. ВИЗНАЧЕННЯ РОЗМІРІВ, МАС НЕБЕСНИХ ТІЛ І ВІДСТАНЕЙ ДО НИХ У СОНЯЧНІЙ СИСТЕМІ

1. Визначення розмірів Землі. Кулястість Землі дає змогу визначити її розміри способом, що вперше застосував грецький учений Ератосфен, ідея якого полягає в такому. На одному географічному меридіані земної кулі виберемо дві точки О1 і О2 (мал. 1.27). Позначимо довжину дуги меридіана О1О2 через l, а її кутове значення через n (у градусах). Тоді

Довжина дуги меридіана між обраними на земній поверхні точками О1 і О2 у градусах дорівнює різниці географічних широт цих точок, тобто

n = Δφ = φ1- φ2·

Для визначення n Ератосфен використав ту обставину, що міста Сієна й Александрія лежать на одному меридіані і відстань між ними відома. За допомогою простого приладу, що вчений назвав скафісом, було встановлено: якщо в Сієні опівдні в день літнього сонцестояння Сонце освітлює дно глибоких колодязів (перебуває в зеніті), то в цей самий час в Александры Сонце міститься від вертикалі на 1/50 частину кола (7,2°). Отже, визначивши довжину дуги l і кут n, Ератосфен підрахував, що довжина земного кола становить 252 тис. стадіїв (стадій ≈ 180 м). З огляду на точність вимірювальних приладів того часу й ненадійність початкових даних, результат вимірювання був досить задовільним (дійсна середня довжина меридіана Землі дорівнює 40 008 км).

Мал. 1.27. Вимірювання радіуса Землі

Точне вимірювання відстані l між точками О1 і О2 (мал. 1.27) ускладнене через природні перешкоди (гори, річки, ліси тощо). Тому довжина дуги l визначається шляхом обчислень, що вимагають вимірювання тільки порівняно невеликої відстані - базису і ряду кутів. Цей метод, розроблений у геодезії, називають тріангуляцією (від лат. triangulum - «трикутник»).

Суть цього методу така. По обидва боки дуги О1О2, довжину якої потрібно визначити, вибирають кілька точок А, В, С, ... на відстанях до 50 км так, щоб з кожної точки було видно щонайменше дві інші.

В усіх точках встановлюються геодезичні сигнали у вигляді вишок пірамідальної форми (мал. 1.28, а) заввишки від 6 до 55 м, залежно від умов місцевості. У верхній частині кожної вишки є майданчик для розміщення спостерігача й установки кутомірного інструмента - теодоліта (мал. 1.28, б). Відстань між будь-якими двома сусідніми точками вибирається на зовсім рівній поверхні й приймається за базис тріангуляційної мережі. Довжину базису дуже ретельно вимірюють спеціальними мірними стрічками.

Виміряні кути в трикутниках і довжина базису дають змогу за допомогою тригонометричних рівнянь обчислити сторони трикутників, а за ними й довжину дуги О1О2 з урахуванням її кривизни.

Важливе значення для розвитку геодезії мала пропозиція голландського вченого Снелліуса (15801626) використовувати як метод передачі координат тріангуляцію. У 1615-1617 рр. Снелліус виконав у Голландії градусний вимір по дузі меридіана, що складається з 33 трикутників і має протяжність близько 130 км.

З 1816 по 1855 р. під керівництвом астронома і геодезиста Василя Струве (1793-1864) було виміряно дугу меридіана завдовжки 2800 км. У 30-х рр. XX ст. високоточні градусні вимірювання було проведено під керівництвом професора Феодосія Красовського (1871-1948). Довжина базису в той час вибиралася невеликою: від 6 до 10 км. Пізніше завдяки використанню світло- і радіолокації довжина базису була збільшена до 30 км. Точність вимірювання дуги меридіана збільшилася до 2 мм на кожні 10 км довжини.

Тріангуляційні вимірювання показали, що довжина дуги 1° меридіана неоднакова на різних широтах: біля екватора вона дорівнює 110,6 км, а біля полюсів - 111,7 км, тобто збільшується до полюсів.

Дійсна форма Землі не може бути представлена жодним з відомих геометричних тіл. Тому в геодезії і гравіметрії форму Землі вважають геоїдом, тобто тілом з поверхнею, близькою до поверхні спокійного океану й продовженою під материками.

Мал. 1.28. Тріангуляційна вишка та теодоліт

У наш час створено тріангуляційні мережі з електронною радіолокаційною апаратурою, встановленою на наземних пунктах та з відбивачами на геодезичних штучних супутниках Землі, що дає змогу точно обчислювати відстані між пунктами. Цей напрям є найпоширенішим і наймасовішим в геодезії. Він доступний через мережу Інтернет. Супутникові приймачі вже сьогодні широко застосовуються в багатьох геодезичних підрозділах України для оновлення геодезичних мереж, прив’язки аерофотознімків, топографічних і кадастрових зйомок та інших видів робіт.

2. Визначення відстаней методом горизонтального паралаксу. Середню відстань від усіх планет до Сонця в астрономічних одиницях можна обчислити, використовуючи третій закон Кеплера. Визначивши середню відстань від Землі до Сонця (тобто значення 1 а. о.) в кілометрах, можна знайти в цих одиницях відстані до всіх планет Сонячної системи.

Із 40-х рр. XX ст. минулого століття радіотехніка дала змогу визначати відстані до небесних тіл за допомогою радіолокації, про яку ви знаєте з курсу фізики. Класичним способом визначення відстаней був і залишається кутомірний геометричний спосіб. Ним визначають відстані й до далеких зір, до яких метод радіолокації застосувати не можливо. Геометричний спосіб ґрунтується на явищі паралактичного зміщення.

Удаване зміщення світила, обумовлене переміщенням спостерігача, називають паралактичним зміщенням, або паралаксом світила.

Визначення відстаней до тіл Сонячної системи ґрунтується на вимірюванні їхніх горизонтальних паралаксів.

Кут р, під яким зі світила видно радіус Землі, перпендикулярний до променя зору, називають горизонтальним паралаксом (мал. 1.29).

Мал. 1.29. Горизонтальний паралакс світила

3. Радіолокаційний метод. Для визначення відстаней до тіл Сонячної системи використовують найбільш точні методи вимірювання — радіолокаційні вимірювання. Вимірявши час t, потрібний для того, щоб радіолокаційний імпульс досяг небесного тіла, відбився і повернувся на Землю, визначають відстань D до цього тіла за формулою

де c - швидкість світла, наближено дорівнює 3 • 108м/с (точніше 299 792 458 м/с).

За допомогою радіолокації визначено найбільш точні значення відстаней до тіл Сонячної системи, уточнено відстані між материками Землі, більш точно визначено астрономічну одиницю (1 а. о. = 149 597 870 км).

Методи лазерної локації (наприклад, спеціальні кутові відбивачі, доставлені на Місяць) дали змогу виміряти відстань від Землі до Місяця з точністю до кількох сантиметрів.

4. Визначення розмірів тіл Сонячної системи. Під час спостереження небесних тіл Сонячної системи можна виміряти кут, під яким їх видно спостерігачеві із Землі. Знаючи кутовий радіус світила р (мал. 1.30) і відстань D до світила, можна обчислити лінійний радіус R цього світила за формулою: R = D sin p.

Мал. 1.30. Визначення лінійних розмірів тіл Сонячної системи

Визначити розміри небесних тіл таким способом можна тільки тоді, коли видно їхні диски.

5. Визначення маси Землі. Однією з найважливіших характеристик небесного тіла є його маса. Закон всесвітнього тяжіння дає змогу визначати масу небесних тіл, у тому числі й масу Землі.

На тіло масою m, що перебуває поблизу поверхні Землі, діє сила тяжіння F = mg, де g - прискорення вільного падіння.

Якщо тіло рухається тільки під дією сили тяжіння, то, використовуючи закон всесвітнього тяжіння, прискорення вільного падіння дорівнює:

Середню густину Землі можна визначити, знаючи її масу й об'єм. Середня густина буде дорівнювати 5,5 • 103 кг/м3. Однак густина Землі не є сталою величиною - з глибиною вона збільшується.

6. Визначення мас небесних тіл. Маси небесних тіл можна визначити різними способами: 1. Шляхом вимірювання сили тяжіння на поверхні даного небесного тіла (гравіметричний спосіб). 2. За третім узагальненим законом Кеплера.

Перший спосіб для Землі ми розглянули вище. Перш ніж розглядати другий спосіб, перевіримо виконання третього закону Кеплера для випадку колового руху планети зі швидкістю vK.

Нехай тіло масою т рухається з лінійною швидкістю vK навколо тіла М (m << M) по колу радіуса rK (мал. 1.31). Це можливо, якщо рух

Мал. 1.31. Коловий рух тіл

лювати так: відношення куба великої півосі орбіти тіла до квадрата періоду його обертання та маси центрального тіла є величина стала.

Якщо масою m меншого тіла не можна знехтувати порівняно з масою M центрального тіла, то в третій закон Кеплера, як показав Ньютон, замість маси М увійде сума мас (M + m), і останнє співвідношення запишеться у вигляді:

Узагальнивши це рівняння для двох небесних тіл масами М1 і М2, одержимо:

тобто квадрати сидеричних періодів супутників (T12 і Т22), помножені на суму мас головного тіла й супутника (М1 + m1 і М2 + m2), відносяться як куби великих півосей орбіт супутників (a13 і a23).

На основі уточненого Ньютоном третього закону Кеплера можна обчислити другим способом маси планет, що мають супутники, а також обчислити масу Сонця. Третій закон Кеплера також можна використовувати для визначення мас подвійних зір.

Маси планет, що не мають супутників, можуть бути визначені за збуреннями, які вони породжують у русі Землі, Марса, астероїдів, комет, а також за їхніми взаємними збуреннями.

ЗАПИТАННЯ ДО ВИВЧЕНОГО

  • 1. Як грецький учений Ератосфен визначив розміри Землі?
  • 2. Перелічіть способи визначення відстаней до тіл Сонячної системи, які ви знаєте.
  • 3. Як визначають довжину дуги меридіана тріангуляційним методом?
  • 4. Що розуміють під горизонтальним паралаксом? Як визначити відстань до світила, знаючи його горизонтальний паралакс?
  • 5. Що таке астрономічна одиниця?
  • 6. У чому полягає радіолокаційний метод визначення відстаней до небесних тіл?
  • 7. Як Ньютон узагальнив закони Кеплера?
  • 8. Як залежить період обертання супутників від мас планет? Як можна розрахувати масу Землі, Сонця?