Підручник з Астрономії (рівень стандарту). 11 клас. Пришляк

§ 4. Закони руху планет

Вивчивши цей параграф, ми:

• дізнаємося про закони Кеплера, згідно з якими рухаються планети у Сонячній системі;

• спробуємо збагнути суть закону всесвітнього тяжіння, що керує рухом усіх космічних тіл — від планет до галактик.

1. Конфігурації планет

Усі планети світяться відбитим сонячним промінням, тому краще видно ту планету, яка розташована ближче до Землі, за умови, якщо до нас повернена її денна, освітлена Сонцем півкуля.

На рис. 4.1 зображено протистояння (ПС) Марса (M1), тобто таку конфігурацію, коли Земля буде перебувати на одній прямій між Марсом і Сонцем. У протистоянні яскравість планети найбільша, тому що до Землі повернена вся її денна півкуля.

Орбіти двох планет, Меркурія і Венери, розташовані ближче до Сонця, ніж Земля, тому в протистоянні вони не бувають. У положенні, коли Венера чи Меркурій перебувають найближче до Землі, їх не видно, бо до нас повернена нічна півкуля планети (рис. 4.1). Така конфігурація називається нижнім сполученням із Сонцем. У верхньому сполученні планету теж не видно, бо між нею і Землею розташовується яскраве Сонце.

Конфігураціями планет називають характерні взаємні положення планет відносно Землі й Сонця

Рис. 4.1. Конфігурації Венери і Марса. Протистояння Марса — планета перебуває найближче до Землі, її видно всю ніч у протилежному від Сонця напрямку. Венеру найкраще видно ввечері у східну елонгацію ліворуч від Сонця В1, та вранці під час західної елонгації праворуч від Сонця В2

Протистояння — планету видно із Землі цілу ніч у протилежному від Сонця напрямку

Елонгація — видима з поверхні Землі кутова відстань між планетою і Сонцем

Найкращі умови для спостереження Венери і Меркурія бувають у конфігураціях, які називаються елонгаціями. Східна елонгація (СЕ) — це момент положення, коли планету видно ліворуч від Сонця ввечері В1. Західна елонгація (ЗЕ) Венери спостерігається вранці, коли планету видно праворуч від Сонця у східній частині небосхилу В2. Конфігурації яскравих планет наведено у таблиці.

Конфігурації яскравих планет

Планета

2011 р.

2012 р.

2013 р.

2014 р.

2015 р.

Венера

8.01 (ЗЕ)

22.03 (СЕ)

1.11 (СЕ)

22.03 (ЗЕ)

6.06 (СЕ)

Марс

3.03 (ПС)

18.04 (Сп)

8.04 (ПС)

14.06 (Сп)

Юпітер

29.10 (ПС)

3.12 (ПС)

19.06 (Сп)

5.01 (ПС)

6.02 (ПС)

Сатурн

4.04 (ПС)

15.04 (ПС)

28.04 (ПС)

10.05 (ПС)

23.05 (ПС)

Умовні позначення: ПС — протистояння, планету видно цілу ніч; Сп — сполучення із Сонцем, планету не видно; СЕ — східна елонгація, планету видно ввечері в західній частині обрію; ЗЕ — західна елонгація, планету видно вранці у східній частині небосхилу.

Увага! Вранці 6 червня 2012 року відбудеться проходження Венери по диску Сонця, коли планета в нижньому сполученні перетинає площину екліптики. Наступне проходження треба чекати до грудня 2117 року.

2. Сидеричний і синодичний періоди обертання планет

Сидеричний період обертання визначає рух тіл відносно зір. Це час, протягом якого планета, рухаючись по орбіті, робить повний оберт навколо Сонця (рис. 4.2).

Синодичний період обертання визначає рух тіл відносно Землі і Сонця. Це проміжок часу, через який спостерігаються одні й ті самі послідовні конфігурації планет (протистояння, сполучення, елонгації).

Рис. 4.2. Шлях, що відповідає сидеричному періоду обертання Марса навколо Сонця, зображено пунктиром синього кольору, синодичному — пунктиром червоного кольору.

На рис. 4.2 положення С—З1—М1 та С—З2—М2 — два послідовних протистояння Марса.

Між синодичним S та сидеричним Т періодами обертання планети існує таке співвідношення:

У формулі (4.1) знак «+» застосовується для Венери і Меркурія, які обертаються навколо Сонця швидше, ніж Земля. Для інших планет застосовується знак «-».

3. Закони Кеплера

Йоганн Кеплер (рис. 4.3) визначив, що Марс рухається навколо Сонця по еліпсу, а потім було доведено, що й інші планети теж мають еліптичні орбіти.

Перший закон Кеплера. Всі планети обертаються навколо Сонця по еліпсах, а Сонце розташоване в одному з фокусів цих еліпсів (рис. 4.4, 4.5).

Рис. 4.3. Й. Кеплер (1571—1630)

Головний наслідок із першого закону Кеплера: відстань між планетою та Сонцем не залишається сталою і змінюється в межах: rmax ≤ r ≥ rmin.

Точка А орбіти, де планета наближається на найменшу відстань до Сонця, називається перигелієм (від грец. peri — поблизу, relios — Сонце), а найвіддаленішу від центра Сонця точку В орбіти планети назвали афелієм (від грец. аро — далі). Сума відстаней у перигелії та афелії дорівнює великій осі АВ еліпса: rmax + rmin = 2α. Велика піввісь земної орбіти (ОА або ОВ) називається астрономічною одиницею. 1 а. о. = 149,6 • 106 км.

Рис. 4.4. Планети обертаються навколо Сонця по еліпсах.

AF1 = rmin — у перигелії;

BF1 = rmax — в афелії

Земля в перигелії 3—4 січня наближається до Сонця на найменшу відстань — 147 млн км

Земля в афелії 3—4 липня віддаляється від Сонця на найбільшу відстань — 153 млн км

Орбіта Землі має маленький ексцентриситет е = 0,017 і майже не відрізняється від кола, тому відстань між Землею та Сонцем змінюється в невеликих межах від rmin =0,983 а. о. в перигелії до rmax =1,017 а. о. в афелії.

Орбіта Марса має більший ексцентриситет, а саме 0,093, тому відстань між Землею та Марсом під час протистояння може бути різною — від 100 млн км до 56 млн км. Значний ексцентриситет (e = 0,8...0,99) мають орбіти багатьох астероїдів і комет, а деякі з них перетинають орбіту Землі та інших планет, тому інколи відбуваються космічні катастрофи під час зіткнення цих тіл.

Супутники планет теж рухаються по еліптичних орбітах, причому у фокусі кожної орбіти розміщений центр відповідної планети.

Рис. 4.5. Як правильно нарисувати еліпс

Другий закон Кеплера. Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі.

Найбільшу швидкість Земля має взимку:

Vmax = 30,38 км/с

Найменшу швидкість Земля має влітку:

Vmin = 29,36 км/с

Головний наслідок другого закону Кеплера полягає в тому, що під час руху планети по орбіті з часом змінюється не тільки відстань планети від Сонця, але і її лінійна та кутова швидкості.

Найбільшу швидкість планета має в перигелії, коли відстань до Сонця є найменшою, а найменшу швидкість — в афелії, коли відстань є найбільшою.

Другий закон Кеплера фактично визначає відомий фізичний закон збереження енергії: сума кінетичної та потенціальної енергії в замкненій системі є величиною сталою. Кінетична енергія визначається швидкістю планети, а потенціальна — відстанню між планетою та Сонцем, тому при наближенні до Сонця швидкість планети зростає (рис. 4.6).

Якщо перший закон Кеплера перевірити в умовах школи досить важко, бо для цього треба виміряти відстань від Землі до Сонця взимку та влітку, то другий закон Кеплера може перевірити кожний учень. Для цього треба переконатися, що швидкість Землі протягом року змінюється. Для перевірки можна використати звичайний календар і порахувати тривалість півріччя від весняного до осіннього рівнодення (21.03—23.09) та, навпаки, від 23.09 до 21.03. Якби Земля оберталася навколо Сонця з постійною швидкістю, то кількість днів у цих півріччях була б однакова. Але, згідно з другим законом Кеплера, взимку швидкість Землі більша, а влітку — менша, тому літо в Північній півкулі триває трохи більше, ніж зима, а у Південній півкулі, навпаки, зима трохи довша за літо.

Рис. 4.6. При наближенні до Сонця швидкість планети зростає, а при віддаленні — зменшується. Якщо відрізки часу t2-t1=t4-t3=t6-t5, то площі SA=SB=SC

У липні Земля рухається повільніше, тому тривалість літа в Північній півкулі більша, ніж у Південній. Цим пояснюється, що середньорічна температура Північної півкулі Землі вища, ніж Південної

Третій закон Кеплера. Квадрати сидеричних періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їхніх орбіт.

де T1 та T2 — сидеричні періоди обертання будь-яких планет; α1 та α2 — великі півосі орбіт цих планет.

Якщо визначити велику піввісь орбіти якоїсь планети чи астероїда, то, згідно з третім законом Кеплера, можна обчислити період обертання цього тіла, не чекаючи, поки воно зробить повний оберт навколо Сонця. Наприклад, у 1930 р. було відкрито нову планету Сонячної системи — Плутон, яка має велику піввісь орбіти 40 а. о., і відразу ж було визначено період обертання цієї планети навколо Сонця — 248 років. Правда, у 2006 р., згідно з постановою з’їзду Міжнародного Астрономічного Союзу, Плутон перевели в статус планет-карликів, бо його орбіта перетинає орбіту Нептуна. Третій закон Кеплера використовується також і в космонавтиці, якщо треба визначити період обертання навколо Землі супутників, космічних кораблів або обчислити час польоту міжпланетних станцій на інші планети Сонячної системи (див. §5).

Рис. 4.7. Із спостережень була визначена велика піввісь орбіти Плутона α2=40 а. о. Враховуючи параметри орбіти Землі α1, T1, згідно з (4.2), маємо T2=248 р.

4. Закон всесвітнього тяжіння

Великий англійський фізик і математик Ісаак Ньютон довів, що фізичною основою законів Кеплера є фундаментальний закон всесвітнього тяжіння, який не тільки зумовлює рух планет у Сонячній системі, але й визначає взаємодію зір у Галактиці. У 1687 р. І. Ньютон сформулював цей закон так: будь-які два тіла з масами М і т притягуються із силою, величина якої пропорційна добуткові їхніх мас, та обернено пропорційна квадрату відстані між ними (рис. 4.8):

де G — гравітаційна стала; R — відстань між цими тілами.

Рис. 4.8. Закон всесвітнього тяжіння

Слід звернути увагу, що формула (4.3) справедлива тільки для двох матеріальних точок. Якщо тіло має сферичну форму і густина всередині розподілена симетрично відносно центра, то масу такого тіла можна вважати за матеріальну точку, яка розміщується в центрі сфери. Наприклад, якщо космічний корабель обертається навколо Землі, то для визначення сили, з якою корабель притягується до Землі, беруть відстань R+H до центра Землі, а не до поверхні (рис. 4.9).

За допомогою формули (4.3) можна визначити вагу космонавтів на будь-якій планеті, якщо відомий її радіус R і маса М (рис. 4.10). Закон всесвітнього тяжіння стверджує, що не тільки планета притягується до Сонця, але й Сонце притягується з такою самою силою до планети, тому рух двох тіл у гравітаційному полі відбувається навколо спільного центра мас даної системи. Тобто планета не падає на Сонце, бо вона рухається з певною швидкістю по орбіті, а Сонце не падає на планету під дією тієї ж сили тяжіння, бо воно теж обертається навколо спільного центра мас.

Рис. 4.9. Сила тяжіння, яка діє на космічний корабель, залежить від відстані R+H між кораблем і центром Землі

Рис. 4.10. Вага космонавтів залежить від маси планети та її радіуса. На астероїдах космонавти повинні прив'язуватися, щоб не полетіти в космічний простір

У реальних умовах жодна планета не рухається по еліптичній траєкторії, бо закони Кеплера справедливі тільки для двох тіл, які обертаються навколо спільного центра мас. Відомо, що у Сонячній системі обертаються навколо Сонця великі планети та безліч малих тіл, тому кожну планету притягує не тільки Сонце — одночасно притягаються між собою всі ці тіла. У результаті такої взаємодії різних за величиною і напрямком сил рух кожної планети стає досить складним. Такий рух називають збуреним. Орбіта, по якій рухається при збуреному русі планета, не буде еліпсом.

Завдяки дослідженням збурення орбіти планети Уран астрономи теоретично завбачили існування невідомої планети, яку у 1846 р. виявив Й. Галле у розрахованому місці, та назвали Нептуном.

Для допитливих

Особливість закону всесвітнього тяжіння полягає в тому, що ми не знаємо, яким чином передається на величезній відстані притягання між тілами. Від часу відкриття цього закону вчені висували десятки гіпотез щодо суті гравітаційної взаємодії, але наші знання сьогодні не набагато більші, ніж за часів Ньютона. Правда, фізики відкрили ще три дивовижні взаємодії між матеріальними тілами, які передаються на відстані: електромагнітна взаємодія, сильна та слабка взаємодії між елементарними частинками в атомному ядрі. Серед цих чотирьох різновидів взаємодії гравітаційні сили є найслабкішими. Наприклад, у порівнянні з електромагнітними силами гравітаційне притягання в 1039 разів слабше, але тільки гравітація керує рухом планет, а також впливає на еволюцію цілого Всесвіту. Це можна пояснити тим, що електричні заряди мають різний знак (+ та -), тому великі за масою тіла є в основному нейтральними, і на великій відстані електромагнітна взаємодія між ними досить слабка.

5. Визначення відстаней до планет

Для вимірювання відстаней до планет в астрономічних одиницях можна використати третій закон Кеплера, але для цього треба визначити геометричним методом відстань від Землі до будь-якої планети. Припустімо, що потрібно виміряти відстань L

який називають горизонтальним паралаксом світила, бо одна сторона прямокутного трикутника — катет AS, є горизонтом для точки А (рис. 4.11). Горизонтальний паралакс (від грец.— зміщення) світила — це кут, під яким було б видно перпендикулярний до променя зору радіус Землі, якби сам спостерігач перебував на цьому світилі. З прямокутного трикутника OAS визначаємо гіпотенузу OS:

Правда, при визначенні паралаксу виникає проблема: як астрономи можуть виміряти кут р з поверхні Землі, не літаючи в космос? Для того щоб визначити горизонтальний паралакс світила S, потрібно двом спостерігачам одночасно з точок А і В виміряти небесні координати (пряме сходження та схилення) цього світила (див. §2). Ці координати, які вимірюють одночасно з двох точок — А і Б, трохи відрізнятимуться. На основі цієї різниці координат визначають величину горизонтального паралакса.

Чим далі від Землі спостерігається світило, тим менше буде значення паралакса. Наприклад, найбільший горизонтальний паралакс має Місяць, коли він перебуває найближче до Землі: р=1°01'. Горизонтальний паралакс планет набагато менший, і він не залишається сталим, бо відстані між Землею та планетами змінюються. Серед планет найбільший паралакс має Венера — 31", а найменший паралакс 0,21" — Нептун. Для порівняння можна привести приклад, що під кутом 1" видно літеру «О» у цій книзі з відстані 100 м — такі крихітні кути змушені вимірювати астрономи для визначення горизонтальних паралаксів тіл у Сонячній системі. Як виміряти відстань до зір, дивись у §13.

Рис. 4.11. Горизонтальний паралакс р світила визначає кут, під яким із цього світила було б видно перпендикулярний до променя зору радіус Землі

Висновки

Усі космічні тіла від планет до галактик рухаються згідно із законом всесвітнього тяжіння, який був відкритий Ньютоном. Закони Кеплера визначають форму орбіти і швидкість руху планет Сонячної системи та їх періоди обертання навколо Сонця.

Тести

1. Як називається розташування планет у космічному просторі відносно Землі й Сонця?

А. Конфігурація. Б. Протистояння. В. Космогонія. Г. Піднесення. Д. Переміщення.

2. У протистоянні можуть спостерігатися такі планети:

А. Сатурн. Б. Венера. В. Меркурій. Г. Юпітер.

3. У сполученні із Сонцем можуть перебувати такі планети:

А. Сатурн. Б. Венера. В. Меркурій. Г. Юпітер.

4. У якому сузірТ можна побачити Марс під час протистояння, яке відбувається 28 серпня?

А. Лев. Б. Козеріг. В. Оріон. Г. Риби. Д. Водолій.

5. Як називається точка орбіти, де планета розміщується найближче до Сонця?

А. Перигелій. Б. Перигей. В. Апогей. Г. Афелій. Д. Апекс.

6. Коли Марс видно на небі цілу ніч?

7. Чи можна Венеру побачити в той час, коли вона розміщується найближче до Землі?

8. У яку пору року орбітальна швидкість Землі найбільша?

9. Чому Меркурій важко побачити на небі, хоча він буває яскравішим за Сіріус?

10. Чи можна було б із поверхні Марса побачити Землю під час протистояння Марса?

11. Астероїд обертається навколо Сонця з періодом 3 роки. Чи може цей астероїд зіткнутися із Землею, якщо в афелії він розміщується на відстані 3 а. о. від Сонця?

12. Чи може існувати в Сонячній системі комета, яка в афелії проходить біля Нептуна та обертається навколо Сонця з періодом 100 років?

13. Виведіть формулу для обчислення ваги космонавтів на будь-якій планеті, якщо відомі її радіус і маса.

Диспути на запропоновані теми

14. Як зміниться клімат Землі, якщо ексцентриситет земної орбіти буде дорівнювати 0,5, а велика піввісь залишиться такою, як зараз? Вважати, що кут нахилу осі обертання до площини екліптики залишиться 66,5°.

Завдання для спостережень

15. Визначте за допомогою астрономічного календаря, яка планета Сонячної системи розташовується найближче до Землі на день вашого народження в поточному році. У якому сузір'ї її можна побачити сьогодні вночі?

Ключові поняття і терміни:

Афелій, елонгація, конфігурації планет, паралакс, перигелій, протистояння, сидеричний і синодичний періоди.